【令和5年度報道部入部試験問題】数学

数学（解答時間50分・配点30点）

$\large\fbox{１}\normalsize \ \ \ \ \ \ \ \ $H,O,U,D,O,U,B,Uの８文字を全て用いてできる文字列を、アルファベット順の辞書式に並べる。

$(1)$　$\rm HOUDOUBU\ $は何番目か。

$(2)$　$2023\ $番目の文字列は何か。

$\large\fbox{２}\normalsize \ \ \ 数列$　　$\{a_{n}\} ,\ \{b_{n}\}\ $　　を次の漸化式によって定める。

　　　$a_{1}=2\quad b_{1}=3 $

　　　$a_{n+1}=2a_{n}+b_{n}-4n\ 　　 　 (\ n=1,\ 2,\ 3,\dots)$

　　　$b_{n+1}=3a_{n}+4b_{n}+n･3^{n} 　\ \ \ (\ n=1,\ 2,\ 3,\dots)$

$(1)$　$a_{n}\ $　が$３$で割り切れるための$\ n\ $についての必要十分条件を求めよ。

$(2)$　全ての正の整数$\ n\ $について、$b_{n}\ $　は$９$で割り切れないことを示せ。

$(3)$　数列$\ \{a_{n}\}\ $　の一般項を求めよ。

$\large\fbox{３}\normalsize \ \ \ a,\ b\ $　　を$\ 0<2a\leqq b\ $を満たす実数とする。正の整数$\ n\ $に対して、$数列\ \{I_{n}\}\ $　を次の定積分によって定める。

$\large I_{n}=\normalsize \displaystyle \int_{-1}^{\ 0}\left(\small \frac{x}{a x + b}\right) ^{n}\normalsize\ \ \ dx$　　　　 　　　

$(1)$　$e\ $を自然対数の底、$x\ $を正の実数とする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

$\displaystyle \large e^{x}>\normalsize1+x+\frac{1}{2\ !}\ x^2+\frac{1}{3\ !}\ x^3$　　　　　

$(2)$　$I_{1}\ $　を$\ a,\ b\ $を用いて求めよ。

$(3)$　$I_{n}\ $　を$\ a,\ b,\ n,\ I_{n+1}\ $　　を用いて表せ。

$(4)$　極限$\ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\ \small \frac{1}{n} \int_{-1}^{\ 0}\left(\small \frac{ax}{a x + b}\right)^{\ \small n}\normalsize\ \ dx\ \ \ \ $　　　　　　　　を求めよ。ただし、必要ならば$\ a,\ b\ $を用いてその極限値を表してもよい。

$(5)$　$-1 \leqq c<0\ $を満たす実数$\ c\ $に対して$\ S_{c}\ $　を無限級数$\ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\ \ \ \dfrac{\ \ \ c^{\ k}\ \ \ }{\ \ \ k(k+1)\ \ \ }\ \ \ $　　　　の和としたとき、$c \in [-1,0)\ \ \ $の取り方によらず次の不等式が成り立つことを示せ。

$\displaystyle -\frac{2}{5}\ <S_{c}<\ 0$

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