【令和5年度報道部入部試験問題】数学
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数学(解答時間50分・配点30点)
\large\fbox{1}\normalsize \ \ \ \ \ \ \ \ H,O,U,D,O,U,B,Uの8文字を全て用いてできる文字列を、アルファベット順の辞書式に並べる。
(1) \rm HOUDOUBU\ は何番目か。
(2) 2023\ 番目の文字列は何か。
\large\fbox{2}\normalsize \ \ \ 数列 \{a_{n}\} ,\ \{b_{n}\}\ を次の漸化式によって定める。
a_{1}=2\quad b_{1}=3
a_{n+1}=2a_{n}+b_{n}-4n\ (\ n=1,\ 2,\ 3,\dots)
b_{n+1}=3a_{n}+4b_{n}+n・3^{n} \ \ \ (\ n=1,\ 2,\ 3,\dots)
(1) a_{n}\ が3で割り切れるための\ n\ についての必要十分条件を求めよ。
(2) 全ての正の整数\ n\ について、b_{n}\ は9で割り切れないことを示せ。
(3) 数列\ \{a_{n}\}\ の一般項を求めよ。
\large\fbox{3}\normalsize \ \ \ a,\ b\ を\ 0<2a\leqq b\ を満たす実数とする。正の整数\ n\ に対して、数列\ \{I_{n}\}\ を次の定積分によって定める。
\large I_{n}=\normalsize \displaystyle \int_{-1}^{\ 0}\left(\small \frac{x}{a x + b}\right) ^{n}\normalsize\ \ \ dx
(1) e\ を自然対数の底、x\ を正の実数とする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
\displaystyle \large e^{x}>\normalsize1+x+\frac{1}{2\ !}\ x^2+\frac{1}{3\ !}\ x^3
(2) I_{1}\ を\ a,\ b\ を用いて求めよ。
(3) I_{n}\ を\ a,\ b,\ n,\ I_{n+1}\ を用いて表せ。
(4) 極限\ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\ \small \frac{1}{n} \int_{-1}^{\ 0}\left(\small \frac{ax}{a x + b}\right)^{\ \small n}\normalsize\ \ dx\ \ \ \ を求めよ。ただし、必要ならば\ a,\ b\ を用いてその極限値を表してもよい。
(5) -1 \leqq c<0\ を満たす実数\ c\ に対して\ S_{c}\ を無限級数\ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\ \ \ \dfrac{\ \ \ c^{\ k}\ \ \ }{\ \ \ k(k+1)\ \ \ }\ \ \ の和としたとき、c \in [-1,0)\ \ \ の取り方によらず次の不等式が成り立つことを示せ。
\displaystyle -\frac{2}{5}\ <S_{c}<\ 0